Hybridisierung der Schwarm- und Innenpunktalgorithmen zur Lösung des Rabinovich-Problems

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 10932 (2023) Diesen Artikel zitieren

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In dieser Studie wird ein vertrauenswürdiges Swarming-Computing-Verfahren zur Lösung der nichtlinearen Dynamik des Rabinovich-Fabrikant-Systems demonstriert. Die Dynamik des nichtlinearen Systems hängt von den drei Differentialgleichungen ab. Zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems wird die rechnerische stochastische Struktur basierend auf den künstlichen neuronalen Netzen (ANNs) zusammen mit der Optimierung der Algorithmen Global Search Swarming Particle Swarm Optimization (PSO) und Local Interior Point (IP), d. h. ANNs-PSOIP, vorgestellt . Eine auf der Differentialform des Modells basierende Zielfunktion wird durch die lokalen und globalen Suchmethoden optimiert. Die Korrektheit des ANNs-PSOIP-Schemas wird anhand der Leistung der erzielten und Quelllösungen beobachtet, während der vernachlässigbare absolute Fehler, der etwa 10−05–10−07 beträgt, auch den Wert des ANNs-PSOIP-Algorithmus darstellt. Darüber hinaus wird die Konsistenz des ANNs-PSOIP-Schemas untersucht, indem verschiedene statistische Verfahren zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems angewendet werden.

Ein bemerkenswertes Rabinovich-Fabrikant-System, das auf dem chaotischen System basiert, wurde von den bedeutenden Wissenschaftlern Rabinovich und Fabrikant entwickelt. Dabei handelt es sich um eine komprimierte Version eines nichtlinearen komplexen parabolischen Systems, das verschiedene physikalische Prozesse modelliert, beispielsweise Windwellen auf Wasser, hydrodynamische Strömungen auf Basis der Tollmien-Schlichting-Wellen, Langmuir-Wellen im Plasma und Konzentrationswellen mithilfe chemischer Reaktionen mit Diffusion. Zunächst wird der Entwurf des Modells in einem physikalischen System implementiert, das die Modulationsinkonsistenz mithilfe des Mediums des dissipativen Nichtgleichgewichts darstellt1,2. Dies zeichnet sich derzeit durch die außerordentlich hohe Dynamik des Modells sowie verschiedene physikalische Eigenschaften aus3. Bemerkenswerterweise basieren das Lorenz-Modell und andere chaotische Modelle auf Nichtlinearitäten der zweiten Art. Während das Rabinovich-Fabrikant-System die dritte Art von Nichtlinearitäten mit einer bemerkenswerten Dynamik aufweist, sind es „virtuelle“ Sättel, kombiniert mit zahlreichen chaotisch-charmanten Charakteren mit besonderen Eigenschaften sowie mysteriösen chaotischen Faszinationen4,5,6,7,8,9,10 ,11. Die Systeme verfügen über zahlreiche Dynamiken, die chaotische Nichtlinearitäten aufweisen können. Die chaotischen Transienten werden im Modell etabliert und die chaotischen Transienten haben einflussreiche Konsequenzen für Experimente. Um nur einige zu nennen: Radiokarten12, Schaltkreise13, Hydrodynamik14, Lorenz-System15, neuronale Netze16 und Rössler-System17.

Eine erhebliche Herausforderung für intellektuelle Forscher stellt die Verwendung der Modellierung dar, die auf dem System nichtlinearer Gleichungen und einem der chaotischen Rabinovich-Fabrikant-Systeme basiert, das gewöhnliche drei gekoppelte Differentialgleichungen unter Verwendung der Pionierarbeit von M. Rabinovich und A. Fabrikant umfasst as2,18:

Die obige Form des nichtlinearen Systems hat vielfältige Anwendungen in verschiedenen Disziplinen der Mathematik und Physik. k1, k2 und k3 liegen in der Anfangsform der Bedingungen vor, wobei e und f die realen endlichen konstanten Werte angeben, die auf der Evolutionskontrolle des Modells basieren.

Die aktuelle Forschung bezieht sich auf die Lösungen des Rabinovich-Fabrikant-Systems unter Verwendung der rechnergestützten stochastischen künstlichen neuronalen Netze (ANNs) zusammen mit den Algorithmen Global Search Swarming Particle Swarm Optimization (PSO) und Local Interior Point (IP), d. h. ANNs-PSOIP. Kürzlich wurden diese stochastischen Leistungen dargestellt, um verschiedene nichtlineare und steife Modelle zu lösen19,20,21,22,23,24,25, einige davon sind automatisierte schienenmontierte Portalkranmodelle26, das Problem der kapazitierten Lichtbogenführung mit heterogenen Fahrzeugen27, Drohne -unterstütztes Kameranetzwerk28, triboelektrische Sensoren zur Oberflächenidentifizierung29, thermisches Explosionssystem30,31, Verkehrsflussvorhersage32, biologisches Leptospirose-System33,34, hochdimensionale teure Probleme35, nichtlineare Differentialsysteme der Nahrungskette36,37,38, Algorithmus zur Optimierung von Vektormaschinenparametern39 , funktionale Arten von Systemen40,41, drahtlos betriebene Systeme42, nichtlineare Modelle mit singulärer Natur43,44,45,46 und viele mehr47,48,49,50. Um diese stochastischen Anwendungen zu inspirieren, legten die Autoren großes Interesse daran, die Lösungen des Rabinovich-Fabrikant-Systems durch Schwarmberechnungsverfahren durchzuführen. Einige innovative Funktionen werden wie folgt aufgeführt:

Die numerischen Lösungen des Rabinovich-Fabrikant-Systems werden durch die Anwendung der vorgeschlagenen KNNs zusammen mit dem Schwarmberechnungsverfahren effizient präsentiert.

Die konsistenten, vertrauenswürdigen und stabilen Ergebnisse dieses Systems authentifizieren die Richtigkeit der entworfenen KNNs zusammen mit einem Schwarmberechnungsschema.

Der kleine absolute Fehler (AE) berechnet die Genauigkeit der ANNs zusammen mit dem Schwarm-Rechenansatz.

Die Authentifizierung der rechnerischen ANNs zusammen mit dem Swarming-Rechenansatz wird dadurch erreicht, dass drei statistische Operatoren mit 50 Ausführungen zur Lösung des Modells herangezogen werden.

Der Rest der Präsentation des Papiers lautet wie folgt: Das Verfahren der ANNs zusammen mit dem Schwarmschema ist im Abschnitt „Vorgeschlagene ANNs-PSOIP-Methode“ angegeben. Die numerischen Lösungen mit verschiedenen Diagrammen und Tabellen werden im Abschnitt „Ergebnisleistungen“ vorgestellt. Die Schlussfolgerungen werden im letzten Abschnitt gezogen.

Das Rabinovich-Fabrikant-System wird numerisch durch Anwendung der Schwarmberechnungsverfahren gelöst. Die mathematischen neuronalen Netzwerkformulierungen werden wie folgt dargestellt:

wobei p, Y die Neuronen und die Aktivierungsfunktion darstellen, während die unbekannten Gewichte W, dargestellt als \({\varvec{W}} = [{\varvec{W}}_{u} ,\,{\varvec{W }}_{v} \user2{,W}_{m} ]\), für \({\varvec{W}}_{u} = [{\varvec{q}}_{u} \user2{ ,\omega }_{u} ,{\varvec{r}}_{u} ]\), \({\varvec{W}}_{v} = [{\varvec{q}}_{v} \user2{,\omega }_{v} ,{\varvec{r}}_{v} ]\) und \({\varvec{W}}_{m} = [{\varvec{q}} _{m} \user2{,\omega }_{m} ,{\varvec{r}}_{m} ]\), wobei

Die mathematische Form der Übertragungs-Log-Sigmoid-Funktion lautet: \(Y(\theta) = \left( {1 + e^{ - \theta } } \right)^{ - 1}\).

Eine Gütefunktion ist wie folgt gestaltet:

wobei \(\hat{u}_{c} = u(\theta_{c} ),\,\hat{v}_{c} = v(\theta_{c} ),\hat{m}_{ c} = m(\theta_{c} ),\,Nh = 1,\,\) und \(\,\theta_{c} = hc\).

In diesem Abschnitt werden die Optimierungen durch das PSOIP zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems vorgestellt.

PSO ist ein von Kennedy und Eberhart im vorigen Jahrhundert eingeführtes globales Such-Neuro-Swarming-Schema, das als Abwandlung des genetischen Algorithmus (GA)51 funktioniert. PSO zeigt die Ergebnisse mehrerer komplexer Systeme, die eine bestimmte Bevölkerung durch die Technik des optimalen Trainings verwalten. PSO funktioniert unter Ausnutzung der Mindestspeicherkapazität52. In den letzten Jahrzehnten wurde PSO in verschiedenen Einreichungen verwendet, beispielsweise als Optimierungssysteme mit gemischten Variablen53, technische Netzwerke54, multiobjektive multimodale Ansätze55, Solarform der Energiesätze56, Photovoltaik-Parameterkategorie basierend auf Einzel-, Doppel- und Dreiwegedioden57, Studien von Pflanzenkrankheiten58, Bilderkennung59, Reduzierung des Partikelfilterlärms auf Basis mechanischer Verantwortlichkeit60 und Produktionssysteme, die grüne Kohle nutzen61. Diese bemerkenswerten Vorschläge motivierten die Autoren, die Schwarmansätze für das Rabinovich-Fabrikant-System anzuwenden.

Der globale PSO-Prozess gilt wie der GA als langsames und träges Schema, das eine schnelle Konvergenz mit der Hybridisierung der lokalen Suchmethode durchführt. Folglich wird der IP-Ansatz verwendet, indem die primären Eingaben des globalen PSO verwendet werden. IP ist ein herausragendes Schema, das zur Modellierung der uneingeschränkten/eingeschränkten Systeme angewendet wird. Einige wichtige IP-Anwendungen sind die prädiktive Steuerung des Schrumpfhorizontmodells mit variablem Diskretisierungsschritt62, die Berechnung der Quantenschlüsselverteilungsrate63, die Parameterschätzung unter Verwendung der symmetrischen rotierenden Projektile auf der Grundlage des Maximum-Likelihood-Schemas64, Gleichgewichtsprobleme des Fischermarktes unter Verwendung der Kernelfunktion65 und der symmetrische Kegel Horizontales lineares Komplementaritätsmodell unter Verwendung der Funktion der positiv-asymptotischen Barriere66. Der Prozess des Schwarmschemas zusammen mit einer lokalen Suchmethode zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems ist in Abb. 1 dargestellt.

Entwickelte Schwarm- und lokale Suchverfahren zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems.

In diesem Abschnitt werden die statistischen Leistungen basierend auf dem Semi-Interquartil-Bereich (SIR), dem mittleren quadratischen Fehler (MSE) und dem Theil-Ungleichheitskoeffizienten (TIC) wie folgt dargestellt:

Die numerischen Lösungen des Rabinovich-Fabrikant-Systems (1) werden mithilfe der Schwarmberechnungsverfahren dargestellt. In diesem Abschnitt werden auch die Diagramme der Ergebnisüberschneidungen, Gewichtungen, statistischen Leistungen sowie der AE dargestellt. Das System (1) wird aktualisiert, indem die geeigneten Werte wie folgt verwendet werden:

Eine Fitnessfunktion wird wie folgt dargestellt:

Die Optimierung der in System (13) angegebenen Zielfunktion wird durch die Verwendung der ANNs zusammen mit dem Schwarm-Rechenansatz zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems erreicht. Zur Überprüfung der Zuverlässigkeit des Verfahrens wurden zehn Neuronenreihen sowie 50 Läufe durchgeführt. Die optimalen Ergebnisse basierend auf den Gewichtsvektoren zur Lösung des obigen Systems sind unten dargestellt.

Abbildung 2 zeigt die Werte der optimalen Gewichte zusammen mit der Ergebnisbewertung für jede Klasse des Rabinovich-Fabrikant-Systems. Diese Gewichte sind in Abb. 2a – c dargestellt, indem die ANNs zusammen mit dem Schwarm-Rechenansatz angewendet werden, um das Rabinovich-Fabrikant-System durch die Verwendung von 10 Neuronen zu lösen. Die Korrektheit der ANNs zusammen mit der Schwarm- und lokalen Berechnungsmethode wird anhand der besten, Referenz- und Durchschnittsergebnisse in Abb. 2d – f untersucht. Abbildung 3 zeigt den Mittelwert und die besten Ergebnisse basierend auf dem AE zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems. Die besten AE-Messungen werden als 10−04–10−07, 10−05–10−07 und 10−06–10−07 durchgeführt, während die Mittelwerte der AE als 10−02–10−03, 10 durchgeführt werden −01 bis 10−03 und 10−03–10−04 für die 1.–3. Dynamik. Diese reduzierbaren Leistungen von AE verbessern die Präzision der KNNs. Abbildung 4 stellt die Leistungen von TIC dar, die auf der Grundlage des Rabinovich-Fabrikant-Systems berechnet wurden und für jede Kategorie bei etwa 10−06–10−10 liegen. Die MSE-Werte sind in Abb. 5 dargestellt, um das Rabinovich-Fabrikant-System durch den stochastischen Ansatz zu lösen. Diese Leistungen werden für das System mit 10−04–10−10 beschrieben. Die durch die ANNs erzielten optimalen statistischen Leistungen entwickeln zusammen mit dem Schwarmschema die Konsistenz der Methode zur Lösung des oben genannten Systems.

Gewichte und Vergleich der Lösungsleistungen für das Rabinovich-Fabrikant-System.

Die Werte von AE zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems.

Leistungen von TIC zusammen mit hist-Werten für das mathematische System.

Leistungen von MSE zusammen mit hist-Werten für das mathematische System.

Die Tabellen 1, 2 und 3 zeigen die statistischen Operatormaße für die Werte Minimum (beste Ergebnisse), SIR, Mittelwert, Maximum (schlechteste Ergebnisse), Median und Standardabweichung (SD). Die Diagramme, die auf den maximalen Leistungen (schlechten Ergebnissen) basieren, wurden für die ersten beiden Dynamiken des Modells mit 10−01–10−02 angegeben, während diese Werte für die letzte Dynamik des Modells mit 10−03–10−04 angegeben wurden. Die Mittel- und SD-Operatorwerte betragen 10−02–10−03 und 10−01–10−02 für die ersten beiden Dynamiken, während diese Werte für die letzte Dynamik des Modells bei 10−04–10−05 liegen. Ebenso liegen die Median-, Minimal- (beste Leistungen) und SIR-Operatorwerte für jede Klasse des Rabinovich-Fabrikant-Systems bei 10−04–10−05, 10−06–10−07 und 10−03–10−05. Basierend auf diesen Leistungen führt der Prozess der ANNs zusammen mit dem Schwarm- und lokalen Suchschema zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems.

Die aktuellen Untersuchungen stellen ein zuverlässiges Schema für stochastische Berechnungen dar, das auf dem Schwarmberechnungsverfahren für die numerischen Lösungen des Rabinovich-Fabrikant-Systems basiert. Die Systemdynamik des nichtlinearen Systems weist drei gekoppelte Gleichungen auf. Einige der abschließenden Bemerkungen sind wie folgt aufgeführt:

Zur Lösung der Differentialform des Rabinovich-Fabrikant-Systems wurden die Berechnung stochastischer künstlicher neuronaler Netze sowie die Algorithmen für globales Schwärmen und lokale Suche nach inneren Punkten vorgestellt.

Der Entwurf der Zielfunktion wurde mithilfe des Differentialsystems dargestellt, während die Optimierung mithilfe lokaler und globaler Suchschemata durchgeführt wird.

Die Genauigkeit der Ergebnisse wurde anhand der erzielten und ursprünglichen Ergebnisleistungen überprüft.

Für die Lösungen des Rabinovich-Fabrikant-Systems wurden die Log-Sigmoid-Übertragungsfunktion zusammen mit 10 Neuronenzahlen in der Struktur des neuronalen Netzwerks bereitgestellt.

Der absolute Fehler wurde ebenfalls um 10−05–10−08 erreicht, was den Wert des ANNs-PSOIP-Algorithmus zeigt.

Die Konsistenz der ANNs-PSOIP-Methode wurde untersucht, indem verschiedene statistische Leistungen zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems angewendet wurden.

In Zukunft werden die entworfenen ANNs zusammen mit dem Schwarmschema bereitgestellt, um die Lösungen des biologischen Systems67,68 und der fluiddynamischen Systeme69 durchzuführen.

Die während der aktuellen Studie/Forschung generierten/produzierten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Die Autoren danken der UAEU für die finanzielle Unterstützung durch den UPAR-Zuschuss Nr. 12S002.

Abteilung für Mathematische Wissenschaften, College of Science, Universität der Vereinigten Arabischen Emirate, Postfach 15551, Al Ain, VAE

Zulqurnain Sabir, Salem Ben Said und Qasem Al-Mdallal

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ZS: Aufsatz schreiben, Methodik SBS: Betreuung, Kodierung Qasem A.-M.: Manuskript überprüft; Ergebnisse.

Korrespondenz mit Salem Ben Said.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Sabir, Z., Said, SB & Al-Mdallal, Q. Hybridisierung der Schwarm- und Innenpunktalgorithmen zur Lösung des Rabinovich-Fabrikant-Systems. Sci Rep 13, 10932 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-37466-6

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Eingegangen: 28. Februar 2023

Angenommen: 22. Juni 2023

Veröffentlicht: 06. Juli 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-37466-6

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